Universitas Muhammadiyah Jember
a. Relasi
Relasi dapat dinyatakan dengan diagran panah, diagram Cartecius, dan himpunan pasangan berurutan.
Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain.
Definisi :
Relasi : Hubungan atau pasangan dari anggota himpunan yang satu ke anggota himpunan yang lain.
Domain : Anggota himpunan daerah asal (absis = koordinat sumbu x)
Kodomain : Anggota himpunan daerah kawan.
Range : Anggota himpunan daerah hasl (ordinat=koordinat sumbu y)
Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.
Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.
Kali ini, diperkenalkan 4 cara menyatakan relasi, yaitu:
1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan
2. Dengan Diagram Panah
3. Dengan Diagram Cartesius
4. Dengan Rumus
Penerapannya
1. Himpunan Pasangan Berurutan.
Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.
Jika x elemen E dan y elemen F, maka relasi dari E ke F dapat dinyatakan dengan pasangan berurutan (x, y). Dari diagram panah di atas dapat dituliskan himpunan pasangan berurutannya sebagai berikut: {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 4), (2, 6), (3, 4), (3, 6), (4, 6), (5, 6)}.
2. Diagram Panah
Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:
a.Membuat dua lingkaran atau ellips
b.Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan y=B diletakkan pada lingkaran B
c. x dan y dihubungkan dengan anak panah
d. Arah anak panah menunjukkan arah relasi
e. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi
contoh :
3. Diagram Cartesius
Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.
a. x=A diletakkan pada sumbu mendatar
b. y=B diletakkan pada sumbu tegak
c. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y)
4. Dengan Rumus
f(x) = x + 1, di mana x = {0, 1, 2, 5} dan f(x) = {1, 2, 3, 4, 6}
Contoh soal :
Diketahui ada 5 anak yang gemar bermain olah raga yaitu
a. Andy gemar bermain volly
b. Budi gemar bermain basket
c. Candra gemar bermain volly dan tenis
d. Dono gemar bermain catur
e. Endro gemar bermain basket
Dari pernyataan diatas maka dapat dilakukan dalam bentuk :
a. Himpunan pasangan berurutan
b. Diagram
c. Diagram cartesius
b. Fungsi (Pemetaan)
Fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Tepat satunya artinya tidak boleh dari dan tidak boleh kurang dari satu.
Himpunan A disebut daerah asal (domain).
Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain).
Himpunan dari anggota-anggota him,punan B yang mempunyai pasangan di A disebut daerah hasil (range).
Definisi Fungsi
Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain).
Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).
Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Misalkan : f(x) = x+ 2, maka f(3) = 3 + 2.
Korespondensi Satu-Satu.
Banyak korespondensi satu-satu yang mungkin terjadi dari himpunan A ke himpunan B dengan n(A) = n(B) = n adalah n X (n - 1) X (n - 2) X … X 3 X 2 X 1 = n! (dibaca n faktorial)
Dua hal penting mengenai korespondensi satu-satu adalah:
1. Banyak anggota dua himpunan yang berkorespondensi satu-satu adalah sama.
2. Merupakan fungsi dua arah.
-Jika n(A) = n(B) = 1, maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin = 1
-Jika n(A) = n(B) = 2, maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin = 2 = 2 x 1
-Jika n(A) = n(B) = 3, maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin = 6 = 3 x 2 x 1
-Jika n(A) = n(B) = 4, maka banyak korespondensi satu-satu yang mungkin = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Syarat suatu relasi merupakan Pemetaan atau Fungsi adalah :
a. Setiap anggota A mempunyai pasangan di B.
b. Setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.
Sifat Fungsi :
1) Fungsi f :A-> B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.
2) Fungsi f :A-> B disebut fungsi INJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain.
3) Fungsi f:A-> B disebut fungsi SUBJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan dengan domain.
4) Fungsi f:A-> B disebut fungsi BIJEKTIF. Karena sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(A) = n(B)
Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A disebut KORESPONDENSI SATU SATU.
Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika banyaknya anggota A = banyaknya anggota B.
Jenis-Jenis Fungsi
Jenis-jenis fungsi yang perlu kita ketahui diantaranya adalah :
A). Fungsi Konstan
Suatu fungsi f : A->B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan. Apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan.
B). Fungsi Identitas
Fungsi Identitas adalah suatu fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = x. Fungsi identitas sering dinyatakan dengan lambang I sehingga I(x) = x.
C). Fungsi Modulus Atau Fungsi Harga Mutlak
Fungsi modulus adalah fungsi f yang memuat bentuk nilai mutlak.
D). Fungsi Linear
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ? 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.
E). Fungsi Kuadrat
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ? 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.
F). Fungsi Tangga (Bertingkat)
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.
G). Fungsi Modulus
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.
H). Fungsi Ganjil Dan Fungsi Genap
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ? –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.
Fungsi Invers
Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi.
Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f –1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif atau dalam korespondensi satu-satu.
Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara berikut ini.
a. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.
b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x = f(y).
c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).
Aljabar Fungsi
a. Penjumlahan f dan g didefinisikan (f + g) (x) = f(x) + g(x).
b. Pengurangan f dan g didefinisikan (f – g)(x) = f(x) – g(x).
c. Perkalian f dan g didefinisikan (f +g)(x) = f(x) + g(x).
Fungsi Komposisi
Komposisi fungsi adalah penggolongan beberapa fungsi menjadi sebuah fungsi
c. Grafik Fungsi
Gambar grafik suatu fungsi dalam koordinat Cartecius dapat diperoleh dengan langkah-langkah berikut.
1) Menentukan pasangan berurutan fungsi tersebut.
2) Menggambarkan pasangan berurutan sebagai titik dalam koordinat Cartecius
2) Perubahan rata-rata fungsi f(x) pada soal nomor 1 adalah
2
3
7
4
Jawaban anda :
3
7
4
Jawaban anda :
3) Diketahui P={1,2,3,4} dan Q={3,6,9,12,15}. Bila ditentukan himpunan pasangan terurut { (1,3) , (2,6) , (3,9) , (4,12) }, maka relasi dari Q ke P adalah
Kelipatan tiga dari
Dua kurangnya dari
Sepertiga dari
Setengah dari
Jawaban anda :
Dua kurangnya dari
Sepertiga dari
Setengah dari
Jawaban anda :
4) Range dari soal nomor 3 adalah
{ 1,2,3,4,6,9,12,15 }
{3, 6,9,12}
{3,6,9,12,15}
{1,2,3,4}
Jawaban anda :
{3, 6,9,12}
{3,6,9,12,15}
{1,2,3,4}
Jawaban anda :
5) Jika diketahui relasi dari P ke Q dinyatakan dalam himpunan pasangan terurut { (a,1) , (b,2) , (3,c) , (4,d) }. Maka pernyataan berikut yang benar adalah
P= {a,b,3,4} dan Q={1,2,c,d}
P={a,b,c,d} dan Q={1,2,3,4}
P={a,b,1,2} dan Q={c,d,3,4}
P={c,d,3,4} dan Q={a,b,1,2}
Jawaban anda :
P={a,b,c,d} dan Q={1,2,3,4}
P={a,b,1,2} dan Q={c,d,3,4}
P={c,d,3,4} dan Q={a,b,1,2}
Jawaban anda :
6) Suatu relasi yang dinyatakan dalam himpunan pasangan terurut { (0,-2) , (0,2) , (2,4) , (6,4) } adalah
7) Himpunan pasangan terurut dari suatu relasi adalah { (0,1) , (1,1) , (2,1) , (3,1) , (4,1) }. Range dari relasi tersebut adalah
{0}
{1}
{4}
{0,1,2,3,4}
Jawaban anda :
{1}
{4}
{0,1,2,3,4}
Jawaban anda :
8) Relasi berikut yang merupakan suatu fungsi adalah
Ayah dari
Orang tua dari
Anak dari
Cucu dari
Jawaban anda :
Orang tua dari
Anak dari
Cucu dari
Jawaban anda :
9) Relasi berikut yang merupakan suatu pemetaan adalah
Kudrat dari
Akar kuadrat dari
Kelipatan dari
Faktor dari
Jawaban anda :
Akar kuadrat dari
Kelipatan dari
Faktor dari
Jawaban anda :
10) Himpunan pasangan terurut berikut yang merupakan suatu fungsi adalah
{ (a,1) , (b,1) , (c,1) , (d,1) }
{ (a,1) , (a,2) , (a,3) , (a,4) }
{ (1,a) , (1,b) , (1,c) , (1,d) }
{ (1,a) , (1,b) , (2,a) , (2,b) }
Jawaban anda :
{ (a,1) , (a,2) , (a,3) , (a,4) }
{ (1,a) , (1,b) , (1,c) , (1,d) }
{ (1,a) , (1,b) , (2,a) , (2,b) }
Jawaban anda :
Bila M={a,b,c} dan N={1,2}. Banyaknya relasi yang mungkin dari N ke A sebanyak
Dari himpunan pasangan terurut { (p,1) , (o,2) , (t,3) , (k,4) , (e,5) , (c,6) , (i,7) , (m,8) , (a,9) }. Jika terdapat angka sandi 3542 1267 berarti
Bila n(P)=n(Q)=3, maka banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dari P ke Q adalah
Himpunan pasangan terurut daru suatu relasi adalah {(a,1) , (a,2) , (b,1) , (b,3) , (c,4)}. P adalah domain dari relasi tersebut.
Himpunan pasangan terurut daru suatu relasi adalah {(a,1) , (1,b) , (2,a) , (2,c) , (3,d)}. K adalah range dari relasi tersebut.
y= -3*(x^2)
